1.貝爾算符

在討論量子糾纏態(tài)的應(yīng)用之前，我們先來看看量子力學史上的幾個經(jīng)典術(shù)語。

薛定諤的貓和EPR佯謬

(資料圖)

在玻爾提出了量子的疊加態(tài)和測量時發(fā)生坍縮的理論時，這個理論是很不符合常理的，眾多的科學家都向其提出質(zhì)疑，其中流傳最為廣泛的一個質(zhì)疑的聲音就是薛定諤提出的貓。薛定諤的貓這個問題大家應(yīng)該都耳熟能詳，其核心問題就是：粒子可以處于兩種基態(tài)的疊加態(tài)，如果其中的一個基態(tài)會導致貓死亡，一個基態(tài)不會對貓造成影響，那么處于疊加態(tài)的粒子會讓貓?zhí)幱谒劳龊突钪寞B加狀態(tài)嗎？常理告訴我們，這是不可能的事情。因此，薛定諤將微觀粒子的狀態(tài)疊加擴大到宏觀的貓的生死狀態(tài)，意圖證明疊加態(tài)的錯誤。

再來說說另外一個問題，“EPR佯謬”。這個實驗是由E:愛因斯坦、P:波多爾斯基和R:羅森1935年為論證量子力學的不完備性而提出的一個悖論。它主要提出的問題是對量子糾纏的質(zhì)疑，前面我們說過，處于糾纏態(tài)的兩個粒子，會存在某種關(guān)聯(lián)，對其中一個粒子進行某種操作會影響到另外一個粒子的狀態(tài)，這種影響是絕對的，不管兩個粒子在空間上分開的多遠，這種影響都能在瞬間產(chǎn)生。對于愛因斯坦來說，他認為要么就是存在某種超距離的作用產(chǎn)生了這種影響，要不就是量子力學的描述不完備。

貝爾不等式        貝爾是一位加速器設(shè)計工程師，同時也是愛因斯坦的腦殘粉，他的業(yè)余愛好就是研究量子力學的基礎(chǔ)理論。他基于愛因斯坦的隱參數(shù)理論推導出著名的貝爾不等式，從而人們可以在實驗上根據(jù)貝爾不等式判定量子力學正確還是愛因斯坦正確。

法國學者首先證實了貝爾不等式可以違背，之后更多的實驗支持了這個結(jié)論，即宏觀世界遵守貝爾不等式，而微觀世界能夠違背貝爾不等式，從而證實了量子力學的正確性和量子力學非局域性的基本性質(zhì)?，F(xiàn)在由 EPR 佯謬中揭示的量子關(guān)聯(lián)效應(yīng)常被稱為 EPR 效應(yīng)，它是非局域性的提現(xiàn)。

貝爾態(tài)基        貝爾態(tài)基是用于描述兩個量子比特（qubit）系統(tǒng)的四種最大糾纏態(tài)的。它由下面的四個態(tài)矢組成： ∣ β 00 ? = ∣ 00 ? + ∣ 11 ? 2 = 1 2 [ 1 0 0 0 ] + 1 2 [ 0 0 0 1 ] = 1 2 [ 1 0 0 1 ] |\beta_{00}\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]+ \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right]= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right] ∣β00?=2 ∣00?+∣11?=2 1????1000????+2 1????0001????=2 1????1001????

∣ β 01 ? = ∣ 01 ? + ∣ 10 ? 2 = 1 2 [ 0 1 0 0 ] + 1 2 [ 0 0 1 0 ] = 1 2 [ 0 1 1 0 ] |\beta_{01}\rangle=\frac{|01\rangle+|10\rangle}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]+ \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right]= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right] ∣β01?=2 ∣01?+∣10?=2 1????0100????+2 1????0010????=2 1????0110????

∣ β 10 ? = ∣ 00 ? ? ∣ 11 ? 2 = 1 2 [ 1 0 0 0 ] ? 1 2 [ 0 0 0 1 ] = 1 2 [ 1 0 0 ? 1 ] |\beta_{10}\rangle=\frac{|00\rangle-|11\rangle}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]- \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right]= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}\right] ∣β10?=2 ∣00??∣11?=2 1????1000?????2 1????0001????=2 1????100?1????

∣ β 11 ? = ∣ 01 ? ? ∣ 10 ? 2 = 1 2 [ 0 1 0 0 ] ? 1 2 [ 0 0 1 0 ] = 1 2 [ 0 1 ? 1 0 ] |\beta_{11}\rangle=\frac{|01\rangle-|10\rangle}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]- \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right]= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\right] ∣β11?=2 ∣01??∣10?=2 1????0100?????2 1????0010????=2 1????01?10????

貝爾態(tài)基也可以寫成下列形式： ∣ Ψ ( ± ) ? = ( ∣ 01 ? ± ∣ 10 ? ) 2 = 1 2 ( ∣ 0 ? ? ∣ 1 ? ± ∣ 1 ? ? ∣ 0 ? ) ： ( ∣ β 01 ? ， ∣ β 11 ? ) |\Psi^{(\pm)}\rangle=\frac{(|01\rangle\pm|10\rangle)}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle\otimes|1\rangle\pm|1\rangle\otimes|0\rangle)： (|\beta_{01}\rangle，|\beta_{11}\rangle) ∣Ψ(±)?=2 (∣01?±∣10?)=2 1(∣0??∣1?±∣1??∣0?)：(∣β01?，∣β11?)

∣ Φ ( ± ) ? = ( ∣ 00 ? ± ∣ 11 ? ) 2 = 1 2 ( ∣ 0 ? ? ∣ 0 ? ± ∣ 1 ? ? ∣ 1 ? ) ： ( ∣ β 00 ? ， ∣ β 10 ? ) |\Phi^{(\pm)}\rangle=\frac{(|00\rangle\pm|11\rangle)}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle\otimes|0\rangle\pm|1\rangle\otimes|1\rangle)： (|\beta_{00}\rangle，|\beta_{10}\rangle) ∣Φ(±)?=2 (∣00?±∣11?)=2 1(∣0??∣0?±∣1??∣1?)：(∣β00?，∣β10?)

2.量子糾纏狀態(tài)

前面我們討論過，量子糾纏狀態(tài)指的是兩個或多個量子系統(tǒng)之間的非定域、非經(jīng)典的關(guān)聯(lián)，是量子系統(tǒng)內(nèi)各子系統(tǒng)或各自由度之間關(guān)聯(lián)的力學屬性。

量子的糾纏狀態(tài)可以描述為：如果 qubit 列的疊加狀態(tài)無法用各 qubit 的張量乘積表示，這種疊加狀態(tài)就稱為量子糾纏狀態(tài)。對于下面的狀態(tài)，它可以用兩個量子比特的張量積表示，因此是非糾纏態(tài)的。 1 2 ∣ 00 ? + 1 2 ∣ 10 ? = 1 2 ∣ 0 ? ∣ 0 ? + 1 2 ∣ 1 ? ∣ 0 ? = ( 1 2 ∣ 0 ? + 1 2 ∣ 0 ? ) ∣ 0 ? \begin{aligned} \frac{1}{\sqrt[]{2}} |00\rangle+\frac{1}{\sqrt[]{2}}|10\rangle & =\frac{1}{\sqrt[]{2}} |0\rangle|0\rangle+\frac{1}{\sqrt[]{2}}|1\rangle|0\rangle \\ &=(\frac{1}{\sqrt[]{2}}|0\rangle + \frac{1}{\sqrt[]{2}}|0\rangle) |0\rangle \end{aligned} 2 1∣00?+2 1∣10?=2 1∣0?∣0?+2 1∣1?∣0?=(2 1∣0?+2 1∣0?)∣0?

但是對于下面的狀態(tài)，它不能表示為兩個 qubit 的乘積，因此是屬于糾纏態(tài)的 1 2 ∣ 01 ? + 1 2 ∣ 10 ? \frac{1}{\sqrt[]{2}} |01\rangle+\frac{1}{\sqrt[]{2}}|10\rangle 2 1∣01?+2 1∣10? 再看下面的疊加態(tài)： 1 2 ( ∣ 010 ? + ∣ 011 ? + ∣ 100 ? + ∣ 101 ? ) = ( 1 2 ∣ 01 ? + 1 2 ∣ 10 ? ) ( 1 2 ∣ 0 ? + 1 2 ∣ 1 ? ) \frac{1}{2}(|010\rangle+|011\rangle+|100\rangle+|101\rangle)= (\frac{1}{\sqrt{2}}|01\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|10\rangle) (\frac{1}{\sqrt{2}}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}|1\rangle) 21(∣010?+∣011?+∣100?+∣101?)=(2 1∣01?+2 1∣10?)(2 1∣0?+2 1∣1?)

其乘積的左因子是兩個糾纏態(tài)的 qubit ，所以這個疊加狀態(tài)也是糾纏態(tài)。

前面我們討論了兩個量子比特（qubit）系統(tǒng)的四種最大糾纏態(tài)的表示——貝爾態(tài)基：

∣ β 00 ? = ∣ 00 ? + ∣ 11 ? 2 = 1 2 [ 1 0 0 1 ] |\beta_{00}\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}\right] ∣β00?=2 ∣00?+∣11?=2 1????1001????

∣ β 01 ? = ∣ 01 ? + ∣ 10 ? 2 = 1 2 [ 0 1 1 0 ] |\beta_{01}\rangle=\frac{|01\rangle+|10\rangle}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}\right] ∣β01?=2 ∣01?+∣10?=2 1????0110????

∣ β 10 ? = ∣ 00 ? ? ∣ 11 ? 2 = 1 2 [ 1 0 0 ? 1 ] |\beta_{10}\rangle=\frac{|00\rangle-|11\rangle}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{matrix}\right] ∣β10?=2 ∣00??∣11?=2 1????100?1????

∣ β 11 ? = ∣ 01 ? ? ∣ 10 ? 2 = 1 2 [ 0 1 ? 1 0 ] |\beta_{11}\rangle=\frac{|01\rangle-|10\rangle}{\sqrt{2}}= \frac{1}{\sqrt{2}}\left[ \begin{matrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{matrix}\right] ∣β11?=2 ∣01??∣10?=2 1????01?10????

顯然，四個貝爾態(tài)基都是糾纏態(tài)。貝爾態(tài)基在量子信息理論中，特別是在量子糾錯編碼理論中有著不可代替的作用。下面我們通過一下量子糾纏態(tài)的生成方法來深入的了解量子糾纏狀態(tài)的性質(zhì)。

3.糾纏態(tài)的生成方法

量子糾纏態(tài)的生成通過下圖所示的量子狀態(tài)變換回路：        用量子比特對的一個基底狀態(tài) ∣ 00 ? |00\rangle ∣00? 作為輸入狀態(tài)，我們來一下它的輸出狀態(tài)。

首先經(jīng)過 H-Gate 門后的狀態(tài)變?yōu)椋?( ∣ 0 ? + ∣ 1 ? 2 ) ∣ 0 ? = ∣ 00 ? + ∣ 10 ? 2 (\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}})|0\rangle=\frac{|00\rangle+|10\rangle}{\sqrt{2}} (2 ∣0?+∣1?)∣0?=2 ∣00?+∣10?

再將該狀態(tài)經(jīng)過 Controlled - NOT - Gate 變換得到輸出結(jié)果： ∣ 00 ? + ∣ 11 ? 2 \frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}} 2 ∣00?+∣11?

這里我們比較一下就能發(fā)現(xiàn)，得到的結(jié)果就是貝爾態(tài)基中的第一個 ∣ β 00 ? |\beta_{00}\rangle ∣β00?，同理，如果我們對兩個子比特組成的四個基底 ∣ 00 ? 、 ∣ 01 ? 、 ∣ 10 ? 、 ∣ 11 ? |00\rangle、|01\rangle、|10\rangle、|11\rangle ∣00?、∣01?、∣10?、∣11? 經(jīng)過該量子狀態(tài)變換回路可以得到結(jié)果如下：

輸入狀態(tài)輸出狀態(tài)

∣ 00 ? \vert00\rangle ∣00?∣ β 00 ? = ∣ 00 ? + ∣ 11 ? 2 \vert\beta_{00}\rangle=\frac{\vert00\rangle+\vert11\rangle}{\sqrt{2}} ∣β00?=2 ∣00?+∣11?

∣ 01 ? \vert01\rangle ∣01?∣ β 01 ? = ∣ 01 ? + ∣ 10 ? 2 \vert\beta_{01}\rangle=\frac{\vert01\rangle+\vert10\rangle}{\sqrt{2}} ∣β01?=2 ∣01?+∣10?

∣ 10 ? \vert10\rangle ∣10?∣ β 00 ? = ∣ 00 ? ? ∣ 11 ? 2 \vert\beta_{00}\rangle=\frac{\vert00\rangle-\vert11\rangle}{\sqrt{2}} ∣β00?=2 ∣00??∣11?

∣ 11 ? \vert11\rangle ∣11?∣ β 01 ? = ∣ 00 ? ? ∣ 10 ? 2 \vert\beta_{01}\rangle=\frac{\vert00\rangle-\vert10\rangle}{\sqrt{2}} ∣β01?=2 ∣00??∣10?

至此我們知道對于基底 qubit 對經(jīng)過如上的狀態(tài)變換回路，可以生成糾纏狀態(tài)，上面的四種狀態(tài) { ∣ β 00 ? ， ∣ β 01 ? ， ∣ β 10 ? ， ∣ β 11 ? } \{|\beta_{00}\rangle，|\beta_{01}\rangle，|\beta_{10}\rangle，|\beta_{11}\rangle\} {∣β00?，∣β01?，∣β10?，∣β11?}稱為貝爾狀態(tài)，也成為 EPR狀態(tài)或 EPR對。

貝爾狀態(tài)是 qubit 對的一組正規(guī)直交基底。例如，對于 ∣ β 00 ? |\beta_{00}\rangle ∣β00? 計算其內(nèi)積： ? β 00 ∣ β 00 ? = ( ? 00 ∣ + ? 11 ∣ ) ( ∣ 00 ? + ∣ 11 ? ) 2 = ? 00 ∣ 00 ? + ? 11 ∣ 00 ? + ? 00 ∣ 11 ? + ? 11 ∣ 11 ? 2 = 1 + 0 + 0 + 1 2 = 1 \begin{aligned} \langle\beta_{00}|\beta_{00}\rangle & =\frac{( \langle00|+\langle11|)(|00\rangle+|11\rangle)}{2} \\ & =\frac{ \langle00|00\rangle+\langle11|00\rangle+\langle00|11\rangle+\langle11|11\rangle} {2} \\ & =\frac{1+0+0+1}{2}=1 \end{aligned} ?β00∣β00?=2(?00∣+?11∣)(∣00?+∣11?)=2?00∣00?+?11∣00?+?00∣11?+?11∣11?=21+0+0+1=1

同理可知貝爾狀態(tài)都已被規(guī)范化了。        我們選擇 ∣ β 00 ? ， ∣ β 10 ? |\beta_{00}\rangle，|\beta_{10}\rangle ∣β00?，∣β10? 計算內(nèi)積： ? β 00 ∣ β 10 ? = ( ? 00 ∣ + ? 11 ∣ ) ( ∣ 00 ? ? ∣ 11 ? ) 2 = ? 00 ∣ 00 ? + ? 11 ∣ 00 ? ? ? 00 ∣ 11 ? ? ? 11 ∣ 11 ? 2 = 1 + 0 ? 0 ? 1 2 = 0 \begin{aligned} \langle\beta_{00}|\beta_{10}\rangle & =\frac{( \langle00|+\langle11|)(|00\rangle-|11\rangle)}{2} \\ &=\frac{ \langle00|00\rangle+\langle11|00\rangle-\langle00|11\rangle-\langle11|11\rangle}{2} \\ &=\frac{1+0-0-1}{2}=0 \end{aligned} ?β00∣β10?=2(?00∣+?11∣)(∣00??∣11?)=2?00∣00?+?11∣00???00∣11???11∣11?=21+0?0?1=0

同理我們可以得出它們都是正交的。

4.對糾纏態(tài)的測定

下面我們來看一下對糾纏狀態(tài)進行測量時，糾纏狀態(tài)所呈現(xiàn)出的性質(zhì)。以具有代表性的糾纏狀態(tài)——貝爾狀態(tài)為例： ∣ β 00 ? = ∣ 00 ? + ∣ 11 ? 2 |\beta_{00}\rangle=\frac{|00\rangle+|11\rangle}{\sqrt{2}} ∣β00?=2 ∣00?+∣11? 在對該狀態(tài)進行測量時，各個 qubit 比特列獲得的概率是:

輸出狀態(tài)概率

00∣ ? 00 ∣ β 00 ? ∣ 2 = 1 2 \vert\langle00\vert\beta_{00}\rangle\vert^2=\frac{1}{2} ∣?00∣β00?∣2=21

01∣ ? 01 ∣ β 00 ? ∣ 2 = 0 \vert\langle01\vert\beta_{00}\rangle\vert^2=0 ∣?01∣β00?∣2=0

10∣ ? 10 ∣ β 00 ? ∣ 2 = 0 \vert\langle10\vert\beta_{00}\rangle\vert^2=0 ∣?10∣β00?∣2=0

11∣ ? 11 ∣ β 00 ? ∣ 2 = 1 2 \vert\langle11\vert\beta_{00}\rangle\vert^2=\frac{1}{2} ∣?11∣β00?∣2=21

從結(jié)果中我們可以知道，貝爾狀態(tài) qubit 對的測定結(jié)果：當?shù)谝晃粶y定結(jié)果為 0 時，第二位也必定為 0 ；當?shù)谝晃粶y定結(jié)果為 1 時，第二位也必定為 1 。這個現(xiàn)象非常奇妙，如果將兩個糾纏態(tài)的量子比特分給別人一個，那么我測定一下我手里的狀態(tài)，就能知道別人手里的粒子現(xiàn)在的狀態(tài)，amazing！這其實就是 qubit 之間存在的一種超強作用力，即“量子相關(guān)作用”的相干關(guān)系。

5.量子糾纏態(tài)的應(yīng)用

通過上面對糾纏狀態(tài)的討論，我們發(fā)現(xiàn)了量子狀態(tài)的超強作力，那么這些超強作用力怎么能應(yīng)用到現(xiàn)實中呢？下面就介紹幾種量子糾纏狀態(tài)的應(yīng)用。

量子密鑰分配

量子密鑰分配是量子糾纏狀態(tài)的最初的實際應(yīng)用?，F(xiàn)在假設(shè)有一貝爾狀態(tài) ∣ β 00 ? = ∣ 0 ? A ∣ 0 ? B + ∣ 1 ? A ∣ 1 ? B 2 |\beta_{00}\rangle=\frac{|0\rangle_A|0\rangle_B+|1\rangle_A|1\rangle_B}{\sqrt{2}} ∣β00?=2 ∣0?A∣0?B+∣1?A∣1?B

其中一位讓用戶 A 擁有，第二位讓用戶 B 擁有；式中 ∣ ? ? A | ·\rangle_A ∣??A 或 ∣ ? ? B | ·\rangle_B ∣??B 分別表示用戶 A 或用戶 B 擁有的 qubit 。此時用戶 A 擁有的粒子的狀態(tài)為 ∣ A ? = ∣ 0 ? + ∣ 1 ? 2 |A\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}} ∣A?=2 ∣0?+∣1? 而用戶 B 擁有粒子的狀態(tài)為 ∣ B ? = ∣ 0 ? + ∣ 1 ? 2 |B\rangle=\frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}} ∣B?=2 ∣0?+∣1? ，如果用戶 A 首先在基底 { ∣ 0 ? , ∣ 1 ? } \{ |0\rangle,|1\rangle\} {∣0?,∣1?} 上測定自己擁有的 qubit ，此時 A 可以等概率的獲得 0 或 1 的結(jié)果。當 A 進行測量之后，B 再進行測量就會服從 A 的結(jié)果。

兩人測定的結(jié)果如下所示：

A 的測定結(jié)果B 的測定結(jié)果

∣ 0 ? \vert0\rangle ∣0?∣ 0 ? \vert0\rangle ∣0?

∣ 1 ? \vert1\rangle ∣1?∣ 1 ? \vert1\rangle ∣1?

通過以上的過程可以發(fā)現(xiàn)，每進行一次這樣的操作，雙方就會產(chǎn)生一位相同的 bit 位，如果對 n 位貝爾狀態(tài)實施這樣的操作，A 和 B 就能夠共同擁有 n 個 bit 位的隨機生成的密鑰。我們思考它的過程，如果每次傳輸都重新產(chǎn)生密鑰，那么我們就能夠達到香農(nóng)所描述的絕對安全的加密傳輸，這便是量子糾纏在加密傳輸中的巨大潛力。

量子高密度編碼

在量子通信的領(lǐng)域中，我們利用量子糾纏狀態(tài)實現(xiàn)量子高密度編碼，量子高密度編碼能夠?qū)崿F(xiàn)一個 qubit 傳送 2 bit 經(jīng)典信息的機能。下面對這種編碼方式做出簡潔的介紹。

現(xiàn)在假設(shè)有一貝爾狀態(tài) ∣ β 00 ? = ∣ 0 ? A ∣ 0 ? B + ∣ 1 ? A ∣ 1 ? B 2 |\beta_{00}\rangle=\frac{|0\rangle_A|0\rangle_B+|1\rangle_A|1\rangle_B}{\sqrt{2}} ∣β00?=2 ∣0?A∣0?B+∣1?A∣1?B

將其中的兩個量子比特分給 A 和 B ，式中 ∣ ? ? A | ·\rangle_A ∣??A 或 ∣ ? ? B | ·\rangle_B ∣??B 分別表示用戶 A 或用戶 B 擁有的 qubit 。若用戶 A 需要向用戶 B 傳送 2 bit 的經(jīng)典信息，那么 A 根據(jù)自己要發(fā)送的經(jīng)典信息對自己擁有的 qubit 做如下的操作：

要發(fā)送的經(jīng)典信息對擁有的 qubit 實施的操作

00什么操作也不施加

01施加 X - Gate 演算 X = [ 0 1 1 0 ] X=\left[ \begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}\right] X=[0110]

10施加 Z - Gate 演算 Z = [ 1 0 0 ? 1 ] Z=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{matrix}\right] Z=[100?1]

11施加 X - Gate 演算和 Z - Gate 演算 XZ

用戶 A 通過上述操作，這個糾纏狀態(tài)變?yōu)橄铝袪顟B(tài)：

要發(fā)送的經(jīng)典信息施加操作后的糾纏狀態(tài)

00β 00 ? \beta_{00}\rangle β00?

01X ∣ β 00 ? = ( X ∣ 0 ? A ) ∣ 0 ? B + ( X ∣ 1 ? A ) ∣ 1 ? B 2 = ∣ 1 ? A ∣ 0 ? B + ∣ 0 ? A ∣ 1 ? B 2 = ∣ β 01 ? X\vert\beta_{00}\rangle=\frac{(X\vert0\rangle_A)\vert0\rangle_B+(X\vert1\rangle_A)\vert1\rangle_B}{\sqrt{2}}=\frac{\vert1\rangle_A\vert0\rangle_B+\vert0\rangle_A\vert1\rangle_B}{\sqrt{2}}=\vert\beta_{01}\rangle X∣β00?=2 (X∣0?A)∣0?B+(X∣1?A)∣1?B=2 ∣1?A∣0?B+∣0?A∣1?B=∣β01?

10Z ∣ β 00 ? = ( Z ∣ 0 ? A ) ∣ 0 ? B + ( Z ∣ 1 ? A ) ∣ 1 ? B 2 = ∣ 0 ? A ∣ 0 ? B ? ∣ 1 ? A ∣ 1 ? B 2 = ∣ β 10 ? Z\vert\beta_{00}\rangle=\frac{(Z\vert0\rangle_A)\vert0\rangle_B+(Z\vert1\rangle_A)\vert1\rangle_B}{\sqrt{2}}=\frac{\vert0\rangle_A\vert0\rangle_B-\vert1\rangle_A\vert1\rangle_B}{\sqrt{2}}=\vert\beta_{10}\rangle Z∣β00?=2 (Z∣0?A)∣0?B+(Z∣1?A)∣1?B=2 ∣0?A∣0?B?∣1?A∣1?B=∣β10?

11Z X ∣ β 00 ? = ( Z X ∣ 0 ? A ) ∣ 0 ? B + ( Z X ∣ 1 ? A ) ∣ 1 ? B 2 = ? ∣ 1 ? A ∣ 0 ? B + ∣ 0 ? A ∣ 1 ? B 2 = ∣ β 11 ? ZX\vert\beta_{00}\rangle=\frac{(ZX\vert0\rangle_A)\vert0\rangle_B+(ZX\vert1\rangle_A)\vert1\rangle_B}{\sqrt{2}}=\frac{-\vert1\rangle_A\vert0\rangle_B+\vert0\rangle_A\vert1\rangle_B}{\sqrt{2}}=\vert\beta_{11}\rangle ZX∣β00?=2 (ZX∣0?A)∣0?B+(ZX∣1?A)∣1?B=2 ?∣1?A∣0?B+∣0?A∣1?B=∣β11?

送信者 A 在對自己擁有的 qubit 實施操作以后將自己擁有的 qubit 傳送給收信者 B，此時收信者 B 擁有整個 qubit 的狀態(tài)。因為貝爾狀態(tài) { ∣ β 00 ? ， ∣ β 01 ? ， ∣ β 10 ? ， ∣ β 11 ? } \{|\beta_{00}\rangle，|\beta_{01}\rangle，|\beta_{10}\rangle，|\beta_{11}\rangle\} {∣β00?，∣β01?，∣β10?，∣β11?} 構(gòu)成正規(guī)直交基底，因此通過基于貝爾狀態(tài)的測定，B 能夠正確地知道 qubit 對的狀態(tài)是 4 個狀態(tài)中的哪一個，根據(jù)測量的結(jié)果就能用下面的規(guī)則還原 A 發(fā)送來的信息。

判定結(jié)果還原的信息

∣ β 00 ? \vert\beta_{00}\rangle ∣β00?00

∣ β 01 ? \vert\beta_{01}\rangle ∣β01?01

∣ β 10 ? \vert\beta_{10}\rangle ∣β10?10

∣ β 11 ? \vert\beta_{11}\rangle ∣β11?11

這里我們再對高密度編碼問題進行更一般性的討論，即如果通信雙方之間存在一個能夠傳送 qubit 的且不產(chǎn)生誤碼的信道，我們考慮一下為了從 A 向 B 發(fā)送 n 個 bit 的信息，雙方需要多少量子比特來傳送信息比較妥當，下面的定理解答了這個問題。

該定理主要想要說明的問題就是，如果 A 需要向 B 發(fā)送 n 個 bit 的經(jīng)典信息，利用 qubit 的高密度編碼，雙方需要互相交換多少 qubit 的信息。

雙方不共有糾纏態(tài) qubit 的情況下，如果 n A B < n \pmb{n_{AB}<N} nab<nnab<nnab<n="" 說明從a="" 能夠傳到="" 的="" qubit="" 的個數(shù)小于經(jīng)典="" 的個數(shù)，這時我可以通過="" 向="" 個處于貝爾狀態(tài)的粒子，這時="" 可以用這些粒子傳送="" \pmb{2×n_{ba}}="" 2×nba2×nba2×nba="" 個經(jīng)典比特的信息，剩余的信息用="" \pmb{n_{ab}-2\times="" n_{ba}}="" nab?2×nbanab?2×nbanab?2×nba個粒子傳送，如果="" ?="" \pmb{n_{ab}-n_{ba}="" \geq="" n-2×n_{ba}}="" nab?nba≥n?2×nbanab?nba≥n?2×nbanab?nba≥n?2×nba，那么信息就能傳送完畢，否則信息是一定不能傳送完的，對上式做變換就能得到="" +="" ≥="" \pmb{n_{ab}+n_{ba}\geq="" n}="" nab+nba≥nnab+nba≥nnab+nba≥n。="" 如果="" \pmb{n_{ab}<\frac{n}{2}}="" nab<2nnab<2nnab<2n，不管="" \pmb{n_{ba}}="" nbanbanba="" 有多大，a="" 最多利用高密度傳送="" ×="" <="" \pmb{2×n_{ab}<n}="" 2×nab<n2×nab<n2×nab<n="" 信息，是不能滿足="" 個="" bit="" 信息的要求的。雙方有無數(shù)個糾纏態(tài)時，可以直接使用="" n="" a="" b="" 2="" \pmb{n_{ab}="\frac{n}{2}}" nab="2nnAB=2nnAB=2n" 傳送="" n個經(jīng)典 bit ，所以 n A B ≥ [ n 2 ] \pmb{n_{AB}\geq\left[ \begin{matrix} \frac{n}{2} \end{matrix}\right]} nAB≥[2n]nAB≥[2n]nAB≥[2n].

量子瞬間傳遞（量子隱形傳態(tài)）

量子瞬間傳遞的過程實現(xiàn)了將一個量子的狀態(tài)傳遞給另外一個量子。在這個過程中即使沒有量子信道，發(fā)送者也可以向接收者傳送 qubit ，量子瞬間傳送的名字也由此而來。下面討論實現(xiàn)量子隱形傳態(tài)的方法。 首先，發(fā)送者 A 和 接收者 B 共同擁有下面的貝爾態(tài)： ∣ β 00 ? = ∣ 0 ? A ∣ 0 ? B + ∣ 1 ? A ∣ 1 ? B 2 |\beta_{00}\rangle=\frac{|0\rangle_A|0\rangle_B+|1\rangle_A|1\rangle_B}{\sqrt{2}} ∣β00?=2 ∣0?A∣0?B+∣1?A∣1?B

將其中的兩個量子比特分給 A 和 B ，式中 ∣ ? ? A | ·\rangle_A ∣??A 或 ∣ ? ? B | ·\rangle_B ∣??B 分別表示用戶 A 或用戶 B 擁有的 qubit 。假設(shè)發(fā)送者 A 希望將 qubit 信息 ∣ φ ? = α ∣ 0 ? A + β ∣ 1 ? A \pmb{|\varphi\rangle=\alpha|0\rangle_A+\beta|1\rangle_A} ∣φ?=α∣0?A+β∣1?A∣φ?=α∣0?A+β∣1?A∣φ?=α∣0?A+β∣1?A 發(fā)送給 B ,則送信者的初始狀態(tài)如下： ∣ ξ 0 ? = ∣ φ ? ∣ β 00 ? = ( α ∣ 0 ? A + β ∣ 1 ? A ) ( ∣ 0 ? A ∣ 0 ? B + ∣ 1 ? A ∣ 1 ? B 2 ) = 1 2 { α ( ∣ 00 ? A ∣ 0 ? B + ∣ 01 ? A ∣ 1 ? B ) + β ( ∣ 10 ? A ∣ 0 ? B + ∣ 11 ? A ∣ 1 ? B ) } \begin{aligned} |\xi_0\rangle & =|\varphi\rangle|\beta_{00}\rangle \\ &=(\alpha|0\rangle_A+\beta|1\rangle_A)(\frac{|0\rangle_A|0\rangle_B+|1\rangle_A|1\rangle_B}{\sqrt{2}}) \\ &=\frac{1}{\sqrt{2}}\{\alpha(|00\rangle_A|0\rangle_B+|01\rangle_A|1\rangle_B)+\beta(|10\rangle_A|0\rangle_B+|11\rangle_A|1\rangle_B) \} \end{aligned} ∣ξ0?=∣φ?∣β00?=(α∣0?A+β∣1?A)(2 ∣0?A∣0?B+∣1?A∣1?B)=2 1{α(∣00?A∣0?B+∣01?A∣1?B)+β(∣10?A∣0?B+∣11?A∣1?B)}

①A 先對自己擁有的兩個 qubit 經(jīng)過控制非門（Controlled - NOT - Gate）演算變換，之后整體的狀態(tài)變?yōu)?∣ ξ 1 ? = 1 2 { α ( ∣ 00 ? A ∣ 0 ? B + ∣ 01 ? A ∣ 1 ? B ) + β ( ∣ 11 ? A ∣ 0 ? B + ∣ 10 ? A ∣ 1 ? B ) } |\xi_1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}\{\alpha(|00\rangle_A|0\rangle_B+|01\rangle_A|1\rangle_B)+\beta(|11\rangle_A|0\rangle_B+|10\rangle_A|1\rangle_B) \} ∣ξ1?=2 1{α(∣00?A∣0?B+∣01?A∣1?B)+β(∣11?A∣0?B+∣10?A∣1?B)}

②對自己要傳送的量子比特做 H - Gate 演算，則 H ∣ 0 ? = 1 2 ( ∣ 0 ? + ∣ 1 ? )      H ∣ 1 ? = 1 2 ( ∣ 0 ? ? ∣ 1 ? ) H|0\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+|1\rangle)\ \ \ \ H|1\rangle=\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle) H∣0?=2 1(∣0?+∣1?)    H∣1?=2 1(∣0??∣1?)

之后整體的狀態(tài)將變?yōu)?∣ ξ 2 ? = 1 2 { α ( H ∣ 0 ? A ) ( ∣ 0 ? A ∣ 0 ? B + ∣ 1 ? A ∣ 1 ? B ) + β ( H ∣ 1 ? A ) ( ∣ 1 ? A ∣ 0 ? B + ∣ 0 ? A ∣ 1 ? B ) } = 1 2 { α ( ∣ 0 ? A + ∣ 1 ? A ) ( ∣ 0 ? A ∣ 0 ? B + ∣ 1 ? A ∣ 1 ? B ) + β ( ∣ 0 ? A ? ∣ 1 ? A ) ( ∣ 1 ? A ∣ 0 ? B + ∣ 0 ? A ∣ 1 ? B ) } = 1 2 { ∣ 00 ? A ( α ∣ 0 ? B + β ∣ 1 ? B ) + ∣ 01 ? A ( α ∣ 1 ? B + β ∣ 0 ? B ) + ∣ 10 ? A ( α ∣ 0 ? B ? β ∣ 1 ? B ) + ∣ 11 ? A ( α ∣ 1 ? B ? β ∣ 0 ? B ) } \begin{aligned} |\xi_2\rangle &=\frac{1}{\sqrt{2}}\{\alpha(H|0\rangle_A)(|0\rangle_A|0\rangle_B+|1\rangle_A|1\rangle_B)+ \beta(H|1\rangle_A)(|1\rangle_A|0\rangle_B+|0\rangle_A|1\rangle_B) \} \\ &=\frac{1}{2}\{ \alpha(|0\rangle_A+|1\rangle_A)(|0\rangle_A|0\rangle_B+|1\rangle_A|1\rangle_B)+ \beta(|0\rangle_A-|1\rangle_A)(|1\rangle_A|0\rangle_B+|0\rangle_A|1\rangle_B) \} \\ & =\frac{1}{2}\{|00\rangle_A(\alpha|0\rangle_B+\beta|1\rangle_B) + |01\rangle_A(\alpha|1\rangle_B+\beta|0\rangle_B) + |10\rangle_A(\alpha|0\rangle_B-\beta|1\rangle_B) + |11\rangle_A(\alpha|1\rangle_B-\beta|0\rangle_B)\} \end{aligned} ∣ξ2?=2 1{α(H∣0?A)(∣0?A∣0?B+∣1?A∣1?B)+β(H∣1?A)(∣1?A∣0?B+∣0?A∣1?B)}=21{α(∣0?A+∣1?A)(∣0?A∣0?B+∣1?A∣1?B)+β(∣0?A?∣1?A)(∣1?A∣0?B+∣0?A∣1?B)}=21{∣00?A(α∣0?B+β∣1?B)+∣01?A(α∣1?B+β∣0?B)+∣10?A(α∣0?B?β∣1?B)+∣11?A(α∣1?B?β∣0?B)}

這里我們把這幾個狀態(tài)的疊加分開來看 ∣ 00 ? A ( α ∣ 0 ? B + β ∣ 1 ? B ) |00\rangle_A(\alpha|0\rangle_B+\beta|1\rangle_B) ∣00?A(α∣0?B+β∣1?B) ∣ 01 ? A ( α ∣ 1 ? B + β ∣ 0 ? B ) |01\rangle_A(\alpha|1\rangle_B+\beta|0\rangle_B) ∣01?A(α∣1?B+β∣0?B) ∣ 10 ? A ( α ∣ 0 ? B ? β ∣ 1 ? B ) |10\rangle_A(\alpha|0\rangle_B-\beta|1\rangle_B) ∣10?A(α∣0?B?β∣1?B) ∣ 11 ? A ( α ∣ 1 ? B ? β ∣ 0 ? B ) |11\rangle_A(\alpha|1\rangle_B-\beta|0\rangle_B) ∣11?A(α∣1?B?β∣0?B)很清晰有木有，我們發(fā)現(xiàn) A 的兩個粒子的狀態(tài)和 B 的狀態(tài)已經(jīng)產(chǎn)生了某種關(guān)聯(lián)，通過概率我們可以知道，如果對 A 的兩個粒子進行測量，可能的結(jié)果就是 { ∣ 00 ? , ∣ 01 ? , ∣ 10 ? , ∣ 11 ? } \{|00\rangle,|01\rangle,|10\rangle,|11\rangle\} {∣00?,∣01?,∣10?,∣11?} 中的一個，當確定了 A 的兩個粒子的狀態(tài)之后，B 擁有的粒子的狀態(tài)也是確定的了。下表展示了對 A 的粒子進行測量得到結(jié)果后，B 擁有粒子的狀態(tài)。

A 測量的結(jié)果B 的狀態(tài)

∣ 00 ? \vert00\rangle ∣00?α ∣ 0 ? + β ∣ 1 ? \alpha\vert0\rangle+\beta\vert1\rangle α∣0?+β∣1?

∣ 01 ? \vert01\rangle ∣01?α ∣ 1 ? + β ∣ 0 ? \alpha\vert1\rangle+\beta\vert0\rangle α∣1?+β∣0?

∣ 10 ? \vert10\rangle ∣10?α ∣ 0 ? ? β ∣ 1 ? \alpha\vert0\rangle-\beta\vert1\rangle α∣0??β∣1?

∣ 11 ? \vert11\rangle ∣11?α ∣ 1 ? ? β ∣ 0 ? \alpha\vert1\rangle-\beta\vert0\rangle α∣1??β∣0?

③發(fā)送者 A 通過經(jīng)典信道將自己的測量結(jié)果發(fā)送給 B ，觀察 B 的粒子的可能狀態(tài)，我們可以發(fā)現(xiàn)，利用前面講過的對單比特的量子邏輯門就可以變換出想要的信息 ∣ φ ? = α ∣ 0 ? A + β ∣ 1 ? A \pmb{|\varphi\rangle=\alpha|0\rangle_A+\beta|1\rangle_A} ∣φ?=α∣0?A+β∣1?A∣φ?=α∣0?A+β∣1?A∣φ?=α∣0?A+β∣1?A ，B 收到該經(jīng)典信息后，根據(jù)經(jīng)典信息對自己擁有的粒子做下面相應(yīng)的變換就可以得到 A 要傳送的信息 。

A 測量到的狀態(tài)A發(fā)送的 bit 列B 收到 bit 列后對自己粒子所作變換

∣ 00 ? \vert00\rangle ∣00?00不做任何操作

∣ 01 ? \vert01\rangle ∣01?01執(zhí)行 X - Gate 演算

∣ 10 ? \vert10\rangle ∣10?10執(zhí)行 Z - Gate 演算

∣ 11 ? \vert11\rangle ∣11?11執(zhí)行 ZX 演算

在發(fā)送信息的 A 處，進行的演算與測定流程如下圖所示：

量子糾纏狀態(tài)的交換

在實現(xiàn)量子高密度編碼或量子隱形傳態(tài)的過程中，發(fā)送和接收雙方共同擁有糾纏狀態(tài)的粒子是必要的。為了解決這個問題，我們設(shè)置一個糾纏態(tài)備制中心，所有的用戶都和制備中心連接，備制中心可以生成糾纏態(tài)的量子然后分發(fā)給每個用戶，這樣備制中心就和每個用戶都共有一對糾纏量子對。

例如，備制中心先產(chǎn)生一對糾纏態(tài)的量子比特 a和 a’,將 a粒子發(fā)送給 A ,再產(chǎn)生一對 b和 b’,將 b發(fā)送給 B。 如果 A 要和 B 進行通信，先與備制中心進行聯(lián)系，告訴備制中心需要和 B 進行通信，備制中心把 b’的狀態(tài)利用 a和 a’進行量子隱形傳態(tài)傳遞給 a。這樣 a就和 b形成了一對糾纏的量子，然后 A 與 B 就共同擁有了一對糾纏狀態(tài)的粒子。

利用糾纏狀態(tài)交換原理能夠構(gòu)成關(guān)于 qubit 的交換機，如下圖所示，利用糾纏狀態(tài)的交換，每個用戶僅僅需要與備制中心事先共同擁有各自的糾纏狀態(tài)，那么任意用戶兩兩之間就能夠擁有必要的相互對應(yīng)的糾纏狀態(tài)。